jueves, 25 de diciembre de 2014

¿Tienes un Momento?

Gracias por dedicarme ese momento. Pero claro, en un blog sobre Física, cuando hablamos sobre momentos no nos referimos a instantes de tiempo, o sí, pero hoy no se trata de eso. Hoy queremos hablar del momento lineal, también conocido como cantidad de movimiento o, simplemente, momento.
A la mayoría nos suena eso de las Leyes de Newton que, en algún momento nos han contado en el cole o en el instituto y que decían algo así:

Primera Ley de Newton o Ley de Inercia: si sobre un cuerpo no actua ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante

Segunda Ley de Newton: la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo, F, es proporcional a la aceleración, a, que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, m, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera:
$$F = m a$$

Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

$$ \vec{F} = m \vec{a}$$

Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción: si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Hoy nos vamos a fijar en la Segunda Ley. Estamos acostumbrados al famoso $$F= m a,$$ pero los físicos sabemos que esa no es la forma correcta de expresar la segunda ley de Newton. ¿Por qué? Sencillamente porque F = m a considera que la masa del cuerpo es constante, es decir, no cambia nunca. Normalmente eso es cierto, pero hay situaciones en las que no. ¿Cuáles? Por ejemplo, en los cohetes. Cuando se lanza un cohete, este va perdiendo masa, por lo que su masa va disminuyendo con el tiempo. Pero no hay que irse al espacio para encontrar ejemplos de situaciones en las que la masa cambie. Cuando utilizamos unas escaleras mecánicas, la masa que hay sobre las escaleras también cambia.


Veamos como se modifica la expresión de la Segunda Ley de Newton para tener en cuenta esto. Recordemos que la aceleración de un cuerpo nos dice de qué manera cambia la velocidad del cuerpo con el tiempo. En forma matemática, esto se expresa diciendo que la aceleración es la derivada de la velocidad:

$$ \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt}$$


Utilizando esta expresión de la aceleración, la Segunda Ley de Newton se expresa como:

$$  \vec{F} = m \frac{d \vec{v}}{dt}$$


Si la masa del cuerpo no varía, podemos incluirla dentro de la derivada. ¿Por qué? Pues porque si multiplicamos la velocidad por un número (la masa en este caso), su cambio en el tiempo también se verá multiplicado por ese número.
Podemos escribir entonces:

$$ \vec{F} = \frac{d (m \vec{v})}{dt}$$

Pero, ¿qué sucede si la masa no es constante? Pues para eso, vamos a echar mano de las matemáticas. Estas nos dicen que cuando tenemos un producto de dos cosas, $$A \times B,$$ por ejemplo, su variación en el tiempo se puede escribir como:

$$ \frac{d (A \times B)}{dt} = A \times \frac{dB}{dt} + B \times \frac{dA}{dt}$$

es decir, A por lo que varía B más B por lo que varía A. Utilizando esto en la última fórmula que hemos visto para la Segunda Ley nos quedaría:

$$ \vec{F} = \frac{d m \vec{v}}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} + \vec{v} \frac{d m}{dt}$$

o recordando lo que era la aceleración:

 $$ \vec{F} = m \vec{a} + \vec{v} \frac{d m}{dt}$$

¡Vaya! Nos queda lo que conociamos como Segunda Ley de Newton más otro término en el que aparece la variación de la masa con el tiempo. Si la masa no varía, nos queda solamente el primer sumando que  ya conocíamos.

Vale, esto está muy bien, pero, ¿qué tiene esto que ver con el momento del que hablamos al principio de la entrada? ¿No será una excusa para contarnos un rollo de Física con fórmulas y más fórmulas?
Tranquilos, ahora vamos a eso. Hemos visto que la expresión matemática de la Segunda Ley de Newton debe ser la última que hemos escrito para que pueda utilizarse siempre. Pero, esa expresión es larga y, posiblemente, se nos olvide pronto (si no se nos ha olvidado ya). Recordemos que para obtener esa expresión tan larga, hemos empezado con una más corta que era:

$$ \vec{F} = \frac{d (m \vec{v})}{dt}$$

que es más fácil de recordar, pero que todavía podía ser más sencilla si en lugar de $$m \vec{v}$$ apareciese una sola cosa.  Pues bien, para simplificar la Segunda Ley de Newton (y por otros motivos que ahora no vienen al caso) al producto de la masa de un cuerpo por su velocidad se le llama momento lineal, cantidad de movimiento, o, simplemente momento y lo representamos por la letra p. Como la velocidad es un vector (tiene un valor, una dirección y un sentido), el momento también tiene que ser un vector.
Con todo esto, la Segunda Ley de Newton se expresa diciendo que la la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es igual a la variación del momento del cuerpo.

$$ \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}$$

Sé lo que estáis pensando, qué esto no es más sencillo que el F=m·a. Pero tampoco es tan difícil de recordar y tiene muchas ventajas:


  •  En Relatividad, la masa de un cuerpo no es constante y se debe utilizar la relación 
$$ \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}$$
  • La Tercera Ley de Newton queda muy sencilla utilizando el momento lineal,...
pero, eso ya es otra historia y lo dejamos para una próxima entrada. Por hoy, ya está bien. Gracias de nuevo por dedicarme ese "momento".

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