miércoles, 7 de enero de 2015

Dame un momento

Regresamos a la rutina diaria y, qué mejor forma de volver que abriendo los "Cuadernos de Física".

Vamos a continuar hablando de las leyes de Newton y de la cantidad de movimiento.
En ¿Tienes un Momento? vimos que la Segunda Ley de Newton nos dice que  la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es igual a la variación del momento del cuerpo:
$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

El momento (o cantidad de movimiento) es una magnitud física muy importante. De hecho, en sus Principios Matemáticos de la Filosofía Natural, publicados en 1687, Newton comienza haciendo una serie de definiciones: la Definición I trata sobre la cantidad de materia (la masa), la Definición II dice:
La Cantidad de Movimiento es la medida del mismo obtenida de la velocidad y de la cantidad de materia conjuntamente,

que ahora escribimos como $$ \vec{p} = m \vec{v}$$




Volvamos a la Segunda Ley de Newton. Supongamos un sistema físico (una parte cualquiera de nuestro universo: una bolita, un coche, un perro, ...) que no interactúa con nada. Es decir, no hay nada que le ejerza fuerza alguna a nuestro sistema. O sea:

$$ \vec{F} = 0 $$

Por la Segunda Ley de Newton:

$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \quad \textrm{si} \quad \vec{F}= 0 \quad \textrm{entonces} \quad  \frac{d\vec{p}}{dt} = 0$$

Así, si no actúa ninguna fuerza sobre el sistema, la cantidad de movimiento NO cambia con el tiempo:

$$ \textrm{Si} \quad \vec{F} = 0 \quad \textrm{entonces} \quad \vec{p} = ~ \textrm{constante}$$

que es lo que se conoce como Ley de Conservación de la cantidad de movimiento o Ley de Conservación del momento.


Si la masa del cuerpo no varía con el tiempo, que el momento sea constante implica que la velocidad también lo es, por lo que

$$ \textrm{Si} \quad \vec{F} = 0 \quad \textrm{entonces} \quad \vec{v} = ~ \textrm{constante} \quad (\textrm{si m no varía en el tiempo}) $$

que no es más que la expresión de la Primera Ley de Newton: si sobre un cuerpo no actúa ningún otro, este permanecerá indefinidamente moviéndose en línea recta con velocidad constante.

Imaginemos ahora que nuestro sistema tiene dos partes, por ejemplo, un sistema formado por dos pelotas de pimpón. Supongamos que no hay ninguna fuerza externa sobre las dos pelotitas. Hemos visto que la cantidad de movimiento del sistema (suma de las cantidades de movimiento de las pelotitas) se conservará:


$$ \vec{p} = \textrm{constante} \quad \longrightarrow \quad \vec{p}_{\textrm{pelotita 1}} + \vec{p}_{\textrm{pelotita 2}} = ~ \textrm{constante}$$

Al derivar respecto al tiempo nos debe salir cero, ya que no hay fuerza externa, por lo que:

$$ \frac{d(\vec{p}_{\textrm{pelotita 1}} + \vec{p}_{\textrm{pelotita 2}})}{dt} = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{d \vec{p}_{\textrm{pelotita 1}}}{dt} + \frac{d \vec{p}_{\textrm{pelotita 2}}}{dt} = 0 $$

Ahora bien, la derivada del primer sumando es la fuerza que actúa sobre la pelotita 1. ¿Quién se la ejerce?  Como no hay fuerzas externas actuando, por narices, tiene que ser la pelotita 2, por lo que escribiremos:

$$ \frac{d \vec{p}_{\textrm{pelotita 1}}}{dt} = \vec{F}_{\textrm{pelotita 2 ejerce sobre pelotita 1}} $$

e igual para la pelotita 2:

$$ \frac{d \vec{p}_{\textrm{pelotita 2}}}{dt} = \vec{F}_{\textrm{pelotita 1 ejerce sobre pelotita 2}} $$

con lo que tenemos que

$$\frac{d \vec{p}_{\textrm{pelotita 1}}}{dt} + \frac{d \vec{p}_{\textrm{pelotita 2}}}{dt} = 0 \quad \rightarrow \quad \vec{F}_{\textrm{pelotita 2 ejerce sobre pelotita 1}}+ \vec{F}_{\textrm{pelotita 1 ejerce sobre pelotita 2}} = 0 $$

es decir

$$ \vec{F}_{\textrm{pelotita 2 ejerce sobre pelotita 1}} = -  \vec{F}_{\textrm{pelotita 1 ejerce sobre pelotita 2}} $$

que es la expresión de la Tercera Ley de Newton: si un cuerpo A (pelotita 1) ejerce una acción sobre otro cuerpo B (pelotita 2), éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario.

Hemos visto cómo la cantidad de movimiento permite que la primera y tercera ley de Newton se obtengan de manera sencilla a partir de la segunda ley. Ya iremos viendo de qué manera la cantidad de movimiento juega un papel bastante importante en la Física.

Por ahora, solamente vamos a resaltar la importancia de la Ley de Conservación de la Cantidad de Movimiento que hemos visto más arriba: si no actúa ninguna fuerza externa sobre un sistema, la cantidad de movimiento del mismo NO cambia con el tiempo.

Una aplicación importante de esta ley tiene lugar cuando se produce la colisión de dos cuerpos: por ejemplo un choque entre dos bolas de billar o un protón impactando sobre un átomo. En una colisión no hay fuerzas externas, por lo que la cantidad de movimiento total de los dos cuerpos se conserva. Podeís ver algunos ejemplos "divertidos" en la sección de Clara Grima del programa nº 2 de Órbita Laika (Lo sentimos, pero como no sabemos si la ley LPI nos permite o no enlazar, os ponemos el texto que tenéis que cortar y pegar en la barra del navegador para verlo: www.rtve.es/alacarta/videos/orbita-laika/orbita-laika-programa-2/2907715 ).


Así que, si alguna vez colisionáis con nosotros, seguro que nos daréis algún momento. :-)

No hay comentarios :

Publicar un comentario