miércoles, 11 de febrero de 2015

La danza de los dos cuerpos

Estos días hemos podido disfrutar de dos fenómenos poco usuales en nuestros cielos: el paso de un cometa y el de un asteroide. 
Bueno, en realidad hay muchos cometas y asteroides que pasan cerca de la Tierra, pero estos a los que nos referimos han sido visibles con prismáticos o pequeños telescopios. 




Hoy vamos a ver cómo son las trayectorias que describen estos objetos en el sistema solar. Los fundamentos son sencillos y están al alcance de cualquiera.

El cometa al que nos referíamos al principio de la entrada es el Cometa Lovejoy, cuyo nombre técnico es C/2014 Q2. En la fotografía anterior está señalado por la flecha roja. Corresponde al pasado 2 de Enero cuando el cometa se encontraba cerca de la constelación de Orión y era un minúsculo puntito de color verde que se podía apreciar bien con unos prismáticos. Una magnífica descripción del cometa y las observaciones realizadas por nuestro amigo Paco Rodríguez Bergali (@PacoRodriguezBe) pueden verse en su blog "El ojo en el cielo". No os doy los enlaces porque merece la pena darse un paseo por el cielo a través de las distintas entradas de dicho blog.

El asteroide que nos ha "rozado" a 1,2 millones de kilómetros de distancia es el asteroide 2004 BL86 del que también ha dado cuenta @PacoRodriguezBe en su blog.

Es bien sabido que, al igual que la Tierra, el movimiento de los cometas y asteroides se debe a la atracción gravitatoria que ejerce el Sol sobre ellos. Vamos a ver cómo es esta atracción gravitatoria y qué forma tienen las trayectorias de los objetos que orbitan alrededor del Sol.

El estudio del movimiento de dos objetos que interaccionan entre sí mediante una fuerza determinada es un problema que se conoce como "El problema de los dos cuerpos" y es uno de los pocos problemas con solución "exacta" en Física.

Para estudiar el problema, partiremos de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$ que se encuentran en las posiciones dadas por los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$. 





Para obtener cómo se mueven los dos cuerpos, vamos a escribir la Segunda Ley de Newton para cada una de las masas. 

$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}= m \vec{a}$$

ya que la masa de los cuerpos no cambia.

Así, para la masa $m_1$, la fuerza que actúa sobre ella es la fuerza gravitatoria que le ejerce la masa $m_2$. Por tanto:

$$ \vec{F}_1 = G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^2}\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|}$$


con $G$ la constante de gravitación universal cuyo valor es $6.6738 \times 10^{-11}$ en unidades del Sistema Internacional.

Por lo que la Segunda ley de Newton para la masa $m_1$ se expresaría como:

$$G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^2}\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|} = m_1 a_1$$


Para la masa $m_2$ la fuerza que actúa sobre ella es la fuerza gravitatoria que le ejerce la masa $m_1$ que, por la Tercera Ley de Newton, es la misma que $m_2$ ejerce sobre $m_1$ pero cambiada de signo:

$$ \vec{F}_2 = - G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^2}\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|}$$

y, por tanto, la Segunda Ley de Newton para la masa $m_2$ será:

$$- G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^2}\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|} = m_2 a_2$$

Por comodidad, en lugar de utilizar los vectores $\vec{r}_1$ y $\vec{r}_2$ para describir la posición de las dos partículas, los físicos utilizamos lo que llamamos las coordenadas del centro de masas, $\vec{R}_{CM}$ y las coordenadas relativas $\vec{r}$ definidas de la siguiente manera:


$$ \vec{R}_{CM}  =  \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2} {m_1+m_2}$$

y

$$ \vec{r}  = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 $$

Es relativamente sencillo obtener la posición de las dos partículas en términos de la posición del centro de masas y de las coordenadas relativas:

$$\vec{r}_1 = \vec{R}_{CM} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}$$

$$\vec{r}_2 = \vec{R}_{CM} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}$$

y las aceleraciones de las dos partículas serán:

$$\vec{a}_1 = \vec{A}_{CM} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{a}$$

$$\vec{a}_2 = \vec{A}_{CM} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{a}$$

donde $\vec{A}_{CM}$ es la aceleración del centro de masas y $\vec{a}$ es la aceleración de las coordenadas relativas.

Sustituyendo en las expresiones de la Segunda Ley de Newton para cada partícula:

$$G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}|^2}\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = m_1 a_1 = m_1 \left(\vec{A}_{CM} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{a}\right)$$

$$- G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}|^2}\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = m_2 a_2 = m_2 \left(\vec{A}_{CM} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{a}\right)$$

Tenemos que resolver estas dos ecuaciones para obtener la aceleración del centro de masas, $\vec{A}_{CM}$ y la aceleración $a$. Sumando las dos ecuaciones nos queda:

$$0 = \left( m_1 + m_2 \right) \vec{A}_{CM}$$

es decir:

$$ \vec{A}_{CM} = 0$$

el centro de masas tiene aceleración cero, lo que significa que se mueve con velocidad constante.

Si el centro de masas se mueve con velocidad constante entonces un sistema de referencia situado en el centro de masas es lo que en Física llamamos un sistema inercial, que son los sistemas de referencia que hay que usar para estudiar el movimiento de los cuerpos. Por esto, a partir de ahora, vamos a situar el origen de nuestro sistema de referencia en el centro de masas, pero ¿dónde está el centro de masas?

Ya hemos visto que su posición se calcula a partir de:

$$ \vec{R}_{CM}  =  \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2} {m_1+m_2}$$

Si una de las partículas tiene una masa muy, muy superior a la otra, como sucede con el Sol y el resto de objetos del sistema solar, el centro de masas se encuentra, prácticamente, en la posición de esta partícula de mayor masa.

Por ejemplo, para el movimiento del sistema Tierra-Sol, la masa del Sol es $1,9885 \times 10^{30}$ Kg y la de la Tierra es $5,9726\times10^{24}$ Kg, por lo que si suponemos que el Sol está en el origen de coordenadas, es decir, $\vec{r}_1=0$ y que la Tierra está a una distancia de 1 UA (1 unidad astronómica = 149597870700 m), obtenemos que:

$$ |\vec{R}_{CM}| \approx 449326  \textrm{m} \approx 449 \textrm{Km}$$

Teniendo en cuenta que el radio del Sol es 69551 Km, podemos considerar que el centro de masas se encuentra en el centro del Sol.
Para hacernos una idea más clara supongamos que el radio del Sol fuese un metro, la Tierra estaría entonces a 2,15 Km de distancia del Sol (y tendría un radio de 10 cm) y el centro de masas Tierra-Sol estaría situado a ¡6 mm! del centro del Sol.



Haciendo $\vec{A}_{CM}=0$ en las expresiones de la Segunda Ley de Newton para las dos masas, nos quedan dos ecuaciones que, en realidad, son la misma:

$$G \frac{m_1 m_2}{|\vec{r}|^2}\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = - \frac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}\vec{a}$$


Esta ecuación corresponde a la segunda ley de Newton para una partícula de masa igual a $\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ sometida a una fuerza igual a la fuerza gravitatoria entre $m_1$ y $m_2$. Para simplificar, vamos a llamar masa reducida a esa masa y la representaremos por $\mu$, es decir, haremos:

$$ \mu = \frac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}$$

Antes de resolver la ecuación que describe cómo se mueven las partículas, tenemos que expresar los vectores en un sistema de coordenadas. Es conveniente usar coordenadas polares.
En las coordenadas polares para dar la posición de un punto se utiliza la distancia al origen de coordenadas y el ángulo que forma el vector de posición con el eje horizontal, como vemos en esta figura:





El vector azul está en la dirección radial (hacia el origen de coordenadas) y el vector rojo es perpendicular al azul y tiene el sentido en el que aumenta el valor del ángulo $\theta$.
Ahora tenemos que expresar la segunda ley de Newton utilizando el sistema de coordenadas formado por los vectores rojo y azul. 

La componente angular (vector rojo) de la fuerza gravitatoria entre las dos masas es cero, por lo que tenemos:

$$ F_{\theta} = 0 = \mu a_{\theta}= \mu \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} \right) \quad \longrightarrow \quad  \mu \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r}\dot{\theta} \right) = 0$$

donde hemos utilizado el puntito sobre las letras para indicar una derivada respecto del tiempo:

$$ \dot{r}= \frac{dr}{dt} \quad \quad \ddot{r}=\frac{d^2 r}{dt^2} \quad \ldots$$

Esto es simplemente para escribir menos, que hay que ser ecológico :-)

Si resolvemos esta ecuación diferencial nos queda:

$$ \frac{d}{dt}\left(\mu r^2 \dot{\theta} \right) = 0$$

es decir:

$$ \mu r^2 \dot{\theta} = \textrm{constante}$$

La cantidad $\mu r^2 \dot{\theta}$ tiene dimensiones (unidades) de momento angular, por lo que esta expresión indica la conservación del momento angular. A la constante la llamaremos, por tanto, $l$:

$$ \mu r^2 \dot{\theta} = l$$

Veamos ahora la componente radial (vector azul). En ese caso tenemos:

$$ -G \frac{m_1 m_2}{r^2} = \mu \left( \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 \right) $$

Integrando esta ecuación obtenemos:

$$ \frac{1}{2} \mu \dot{r}^2 + \frac{2l^2}{r^2}-G\frac{m_1 m_2}{r} = \textrm{constante}$$

que no es más que la conservación de la energía.
Llamaremos entonces $E$ a esa constante, por lo que nos queda:

$$\frac{1}{2} \mu \dot{r}^2 + \frac{2l^2}{r^2} - G \frac{m_1 m_2}{r} = E$$

Para resolver esta ecuación y obtener la trayectoria que siguen las partículas en coordenadas polares, hacemos el cambio:

$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{dr}{d\theta}\dot{\theta} = \frac{l}{\mu r^2} \frac{dr}{d\theta}$$

Utilizando este cambio y tras un sencillo cálculo llegamos a:

$$ \theta = \int \frac{ \frac{l}{\mu r^2} dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu}\left( E  + \frac{G m_1 m_2}{r} - \frac{l^2}{2\mu r^2} \right)}}$$


Al resolver esta integral obtenemos el valor de $r$ en función del ángulo $\theta$, es decir, la trayectoria en coordenadas polares:

$$ r = \frac{ \frac{l^2}{\mu G m_1 m_2}}{ 1 + \sqrt{\frac{2El^2}{\mu G m_1 m_2 + 1} +1 } \cos \theta}$$


¿Qué es esto? 
Pues no es más que la ecuación en coordenadas polares de un tipo de curvas a las que los matemáticos llaman cónicas. ¿Os suenan? Aunque penséis que no, seguro que habéis oído hablar de ellas. Las cónicas son las curvas que se obtienen cuando cortamos un cono. Según la manera en la que realicemos el corte obtenemos hipérbolas, parábolas, elipses o circunferencias y esos nombres sí los habéis escuchado alguna vez.

Los matemáticos escriben la expresión de una cónica de la siguiente forma:

$$ r = \frac{\alpha}{1 + \epsilon \cos \theta}$$


$\epsilon$ es lo que se llama excentricidad de la curva y $\alpha$ es un parámetro que se puede calcular conociendo el punto de la cónica más próximo al origen ($r_0$) y cuyo valor es $\alpha= r_0(1+\epsilon)$. Según el valor de la excentricidad tenemos una curva u otra. Así, para una excentricidad mayor que 1 tenemos una hipérbola y si es igual a 1, tenemos una parábola. Para valores menores que 1 obtenemos elipses y si la excentricidad es cero nos queda una circunferencia.



Parece que ya tenemos cómo se mueven las partículas, pero esperad, lo que hemos calculado es $\vec{r}$, las coordenadas relativas. Los vectores de posición de las partículas $m_1$ y $m_2$ eran:

$$\vec{r}_1 =  - \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}$$


$$\vec{r}_2 =  \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}$$

ya que habíamos fijado el origen del sistema de referencia en el centro de masas del sistema.

En el caso del Sol y la Tierra, tenemos que $m_1=M_{\textrm{Tierra}}=5,972\times10^{24}$ kg y $m_2=M_{\textrm{Sol}}= 1,9885\times10^{30}$ kg, por lo que:

$$\vec{r}_1 = \vec{r}_{\textrm{Tierra}} = - 0,9999969964 \vec{r}$$



$$\vec{r}_2 = \vec{r}_{\textrm{Sol}} = 0,0000030035 \vec{r}$$


Vamos, que el Sol apenas se mueve comparado con el movimiento de la Tierra ( o de cualquier otro objeto del sistema solar). Así que, en adelante, supondremos que el Sol está fijo en el origen del sistema de coordenadas.

Volvamos de nuevo al principio de esta entrada en la que hablábamos del asteroide $^{2004}BL_{86}$ y del cometa Lovejoy. Gracias a los astrónomos que se dedican a observar estos objetos, podemos conocer el valor de la excentricidad de sus órbitas. 
La Unión Astronómica Internacional cuenta con una división denominada "Minor Planet Center" que se define como "el centro neurálgico de detección de asteroides en el Sistema Solar" y que recopila todos los datos de asteroides, cometas y otros pequeños objetos del sistema solar. En su web pueden encontrarse estos datos que para el cometa Lovejoy y el asteroide $^{2004}BL_{86}$ son:

Asteroide $^{2004}BL_{86}$: Excentricidad = 0,4030581

Cometa Lovejoy (C/2014 Q2): Excentricidad = 0,998086


El asteroide tiene una excentricidad menor que 1, por lo que su órbita es elíptica. Para el cometa también es menor que 1, pero con un valor muy próximo a 1. Con ese valor y el posible error que tiene, no podemos estar seguros de si su órbita será cerrada (una elipse) o abierta (una parábola o hipérbola). En este último caso, se irá para no volver jamás.



Por ahora, eso es todo. Os dejo con la danza estos cuerpos celestes suponiendo que todos tardan el mismo tiempo en dar una vuelta alrededor del Sol.

¡Hasta pronto!

2 comentarios :

  1. Buenos tardes, mi nombre es Lorena Martín y le hablo en nombre del gabinete de prensa de la Fundación General de la Universidad de La Laguna. Estamos trabajando en nuestra Unidad de Cultura Científica y de la Innovación llamada "Cienci@ULL" para crear una base de datos de páginas web, blogs, portales, etc... Sobre divulgación científica. Si les interesaría formar parte de esa base de datos, nos gustaría que nos facilitaran un correo electrónico donde enviarles nuestras informaciones. Muchas gracias por su colaboración y un cordial saludo.

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Estimada Lorena:

      Gracias por vuestro interés. Mi correo electrónico del gmail es jmaphys (con @gm...)

      Un saludo,

      José Manuel

      Eliminar