domingo, 24 de mayo de 2015

El átomo de Hidrógeno

El átomo de hidrógeno es uno de los problemas que la física es capaz de resolver exactamente. Como vimos en la entrada Una física, tres problemas, no todos los problemas se pueden resolver así, de hecho, solo unos pocos tienen solución exacta.
Podemos resolver con métodos numéricos (de forma aproximada) átomos con muchos electrones pero, exactamente, sólo el átomo de hidrógeno, es decir, el átomo formado por un protón y un electrón.
No lo hemos dicho todavía, pero este es un problema que resuelve la física cuántica. De hecho, Erwin Schrödinger en 1926 lo usó para ilustrar la mecánica ondulatoria que él mismo había desarrollado. 
Imagen clásica del átomo de hidrógeno
   
Si utilizáramos física clásica para resolver el átomo de hidrógeno tendríamos el problema de una carga negativa (el electrón) girando en torno a una positiva (el protón), y como, según el electromagnetismo, las cargas aceleradas emiten radiación, el electrón, según esta teoría clásica tendría que perder toda su energía al cabo de un tiempo (corto) y caer sobre el núcleo. Vamos, que se nos desintegrarían los hidrógenos. Pero sabemos que los átomos de hidrógeno no hacen eso, por tanto, la solución no nos sirve.

Bueno, no pasa nada, usamos la física cuántica que es capaz de solucionar el problema sin que pasen esas cosas. Vamos a ello.


En física cuántica la ecuación que describe la evolución de un sistema es la ecuación de Schrödinger. Os la presento:



$$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi (t) = \hat{H} \psi (t)$$



Es bonita, ¿verdad?

Como vemos, contiene una derivada temporal, algunas constantes y un operador hamiltoniano $\hat{H}$ que, en general, es igual a la suma de la energía cinética y el potencial, y puede ser el operador asociado a la energía del sistema. Por ello, la forma de $\hat{H}$ dependerá del sistema físico que estemos considerando.
Y, por supuesto, contiene a $\psi$ que es lo que queremos calcular.


$\psi$ es la función de estado del sistema. Y si tenemos eso, lo tenemos todo porque, según el primer postulado de la mecánica cuántica, toda la información relativa al sistema físico se encuentra ahí.

Para el caso que nos ocupa, es suficiente con resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, (o ecuación de autovalores para el operador hamiltoniano) que es la siguiente:

$$ \hat{H}\psi = E \psi$$


Necesitamos saber qué expresión va a tener nuestro hamiltoniano para plantear la ecuación. 

Resulta que tanto en física clásica, como en la cuántica, el problema de dos cuerpos se reduce al problema efectivo de un cuerpo, cuya masa es la masa reducida del sistema, siendo en nuestro caso la masa reducida $m$:


$$ m = \frac{m_{p} m_{e}} {m_{p}+m_{e}} $$



donde $m_{p}$ es la masa del protón y $m_{e}$ es la masa del electrón.



Antes ya mencionamos que el hamiltoniano es igual a la energía cinética más el potencial. Si despreciamos el movimiento libre del sistema en su conjunto (es decir, lo estudiamos en el sistema de referencia del centro de masas), como la interacción entre el protón y el electrón es culombiana, tendremos para el potencial la siguiente expresión:



$$ \hat{V} (r) = - \frac{e^2}{\widehat{r}}$$




Donde $e$ es la carga del electrón y $\widehat{r}$ el operador para la distancia relativa entre el núcleo y el electrón.


Y para la energía cinética, escrita en función de la cantidad de movimiento, tendremos:



$$ \hat{T} (r) = \frac{\widehat{p}^2}{2m}$$




En resumen, tenemos que resolver la ecuación:



$$\left\{\frac{\widehat{p}^2}{2m}-\frac{e^2}{\widehat{r}}\right\}\psi = E\psi $$





No vamos a entrar en todo el desarrollo matemático necesario para llegar a la solución, tendríamos que explicar muchos conceptos y sería largo (aunque no aburrido). Pasando a ella directamente, la función de estado del sistema que se obtiene es:


$$ \psi = R_{nl}(r) Y_l^{m{_l}}(\theta, \varphi) $$



Esta expresión, como vemos, consta de una parte que depende de $r$ y otra que depende de ciertos ángulos, $\theta$ y $\varphi$, que no son más que los ángulos de las coordenadas esféricas. La parte que depende de los ángulos son unas funciones llamadas armónicos esféricos, que se conocen, y la parte que depende de $r$ se escribe en función de ciertos polinomios también conocidos, los llamados polinomios de Laguerre.



Vemos que la función depende de tres números, $n$, $l$ y $m_l$. Estos números están relacionados entre sí, y deben tener ciertos valores enteros. Esto no es así por capricho, son consecuencias matemáticas de la integración de la ecuación. A $n$, $l$ y $m_l$ se les llama números cuánticos.



Para $E$ se obtiene el siguiente valor:



$$E = - \frac{E_R}{n^2}$$



donde $E_R$ es una constante de valor $E_R = \frac{me^4}{2{\hbar^2}}= 13.60569253(30) eV$



El número cuántico $n$ puede tomar valores enteros desde $1$ en adelante. El número cuántico $l$ valores enteros desde $0$ hasta $n-1$ y $m_l$ valores enteros desde $-l$ hasta $+l$.





Hemos visto que se obtiene una fórmula para la energía que nos da valores discretos. Es decir, la energía no puede tomar cualquier valor, sino unos valores concretos. Seguro que habéis oído hablar alguna vez de la cuantización de la energía. Pues es esto. 


El electrón, según la energía que tenga, se encontrará en un nivel u otro, y puede cambiar de nivel emitiendo (o absorbiendo) radiación de una longitud de onda concreta (no nos vale cualquier energía para cualquier transición) de tal forma que para cada una de las transiciones que sean posibles tendremos una línea de una longitud de onda determinada en el espectro del átomo. 

Para pasar de un nivel de energía menor a otro mayor el electrón necesita absorber energía. De esta forma se obtiene el espectro de absorción, que es la primera de las imágenes. Si es al revés, el electrón emite energía pasando a un nivel de energía menor, se produce el espectro de emisión, que es la imagen inferior.

En realidad, en la imagen del espectro que podemos ver más arriba las líneas que aparecen corresponden sólo a las transiciones que se producen en la parte visible del espectro (las llamadas líneas de Balmer) pero para el hidrógeno también se producen transiciones donde se emite radiación en longitudes de onda que se sitúan en la parte infrarroja y ultravioleta del espectro.

Vamos a ver un ejemplo para comprobar que, efectivamente, calculando la diferencia de energía entre dos niveles con la fórmula que se obtiene en la teoría, obtenemos una longitud de onda que coincide con una línea del espectro experimental.
Si calculamos la diferencia de energía entre los niveles $n=2$ y $n=3$ usando la fórmula teórica obtenemos:


$$E_2-E_3= -E_R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2})=1.88eV$$



La energía de una onda y el valor de su longitud de onda están relacionadas. La expresión siguiente nos dice cómo:



$$E = \frac{hc}{\lambda}$$



donde $\lambda$ es la longitud de onda de la radiación, $c$ la velocidad de la luz y $h$ la constante de Planck.
Vamos a usar esta relación con el dato de energía que tenemos:

$$1.88eV=\frac{hc}{\lambda}$$ 

Si ahora despejamos la longitud de onda obtenemos:



$$\lambda= 6.56\times10^{-7}m=656nm$$


Que coincide con la longitud de onda de la línea roja del espectro. Eso quiere decir que esta línea se forma cuando el electrón pasa del nivel de energía correspondiente a $n=3$ al nivel con $n=2$. 

Teoría y experimento coinciden, menos mal ;-)


Hasta pronto,







7 comentarios :

  1. Hola Reyes como estas? Sin lugar a dudas es emocionante saber que puedes llegar a una solucion exacta al problema del atomo de hidrogeno. Yo quede sorprendido cuando mi profesor en una clase nos explico los pasos para hacerlo. Pero claro debes tener buenos conocimientos en ciertos metodos matematicos de la fisica teorica.

    Mas o menos la cosa es asi: lo primero es plantear la ecuacion de Schrodinger usando un potencial inverso al cuadrado de la distancia, como tu lo escribiste. Ahi te encuentras con un laplaciano que debes lidiar. Para simplificar calculos debes elegir un sistema de coordenadas adecuado, que en este caso es el sistema de coordenadas esfericas.

    Luego procedes a plantear una solucion donde las variables independientes esten "separadas" es decir; hay una funcion para cada variable y estas a su vez se multiplican para hallar la solucion completa. Al aplicar el laplaciano en coordenadas esfericas tienes dos ecuaciones diferenciales a ambos lados de la igualdad. Resuelves cada una y aplicandoles condiciones de borde llegas a ecuaciones diferenciales ordinarias que poseen soluciones conocidas, por ejemplo para tratar los angulos theta y phi se necesita llegar a una EDOL asociada de Legendre y por supuesto el resultado son los armonicos esfericos como lo indicas en la solucion.

    La parte radial es complicada. Cuando encuentras la ecuacion diferencial radial esta te conduce (aplicando un problema de Sturm Liouville) a una EDOL Hipergeométrica Confluente ....

    Es un problema interesante que permite desarrollar muchas habilidades a la hora de resolver ecuaciones diferenciales complejas. En electromagnetismo tambien se aplican metodos parecidos a este (separacion de variables)

    Saludos cordiales Reyes y gracias por estimularme a recordar mis calculos de pregrado

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    1. Gracias a ti por el comentario. Explicas muy bien el proceso matemático para resolver la ecuación. Sólo una pequeña aclaración, el potencial no es inverso al cuadrado de la distancia. Saludos.

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  2. donde consigo el desarrollo completo del atomo de hidrogeno

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    1. El desarrollo completo lo puedes encontrar, por ejemplo, en el libro "Quantum Mechanics" de Claude Cohen-Tannoudji y Bernard Diu, y Franck Laloë.
      Saludos

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  3. algun link de descarga porfavor en español :) o serian tan amables de enviar ami correo les agradeceria demasiado este es mi correo bladysyto@gmail.com

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  4. https://www.youtube.com/watch?v=T1Z2HihZ5Z4

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  5. Si no recuerdo mal esto empezó a solucionarse desde la física matricial, o algo así. ¿Cierto? Leí que si no se hubiera intentado por allí, nadie entendería hoy la Mecánica Cuántica.

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