jueves, 15 de octubre de 2015

Y la luz se hizo partícula

Volvemos con una entrada acerca de la luz para continuar con la conmemoración del "Año Internacional de la Luz y las Tecnologías Basadas en la Luz".

En la entrada "Breve historia de la luz" vimos como, a finales del siglo XIX, Maxwell con su teoría electromagnética acabó de desbancar la teoría corpuscular de la luz que Newton había propuesto en su "Opticks" de 1704. La luz era una onda y no una partícula.

Sin embargo, en 1905, un joven llamado Albert Einstein publicaba un artículo titulado "Sobre un punto de vista heurístico acerca de  la creación y conversión de la luz" en el que planteaba que la luz estaba compuesta por cuantos, iguales a los propuestos por Planck unos años antes, pero cuya existencia Einstein obtenía de un modo distinto. Tengamos en cuenta que "heurístico" viene a significar una manera de encontrar la solución a un problema mediante métodos no muy rigurosos. Aún así, Einstein devolvió a la luz parte de su naturaleza corpuscular que Newton propuso 200 años atrás. 




Veamos cómo lo hizo.

Como ya hemos dicho, en Marzo de 1905 aparecía publicado en Annalen der Physik el artículo "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Ann.Physik, 17, 132) o lo que igual "Sobre un punto de vista heurístico acerca de la creación y conversión de la luz". 
Portada de Annalen en el que Einstein publicó su artículo


Einstein comienza indicando la diferencia esencial entre la imagen teórica que tienen los físicos de los gases (partículas) y la teoría electromagnética de Maxwell sobre los procesos en el espacio vacío. Mientras que para describir el estado de un cuerpo basta con un pequeño número de variables, la determinación del estado electromagnético en el espacio requiere de un número infinito de ellas. La teoría de Maxwell nos dice que la energía es una función continua en el espacio y se encuentra distribuida continuamente sobre un volumen creciente a medida que la luz se va propagando. 
A pesar de la completa verificación experimental de la teoría de difracción, reflexión, refracción, dispersión y, en general de cualquier otro fenómeno ondulatorio que había logrado la teoría de Maxwell, Einstein resalta que es muy probable que dicha formulación falle cuando se aplique a fenómenos relacionados con la creación y conversión de la luz como pueden ser la "radiación del cuerpo negro", la fotoluminiscencia o la producción de rayos catódicos. 
Según Einstein, este tipo de fenómenos pueden comprenderse mejor si se supone que la energía de la luz se encuentra distribuida de manera discontinúa en el espacio. Es decir, cuando un rayo de luz se propaga, la energía no se distribuye continuamente sobre un volumen creciente, sino que consiste en un número finito de "cuantos de energía", localizados en el espacio, que se mueven sin dividirse y que solamente pueden ser emitidos o absorbidos como un todo.
Para llegar a esta conclusión, Einstein comienza obteniendo la expresión de la radiación de cuerpo negro a partir de la teoría de Maxwell y de los electrones. Obtiene que la energía por unidad de volumen de la radiación con frecuencia comprendida entre $\nu$ y $\nu + d\nu$, $\rho_{\nu}$ viene dada por:
$$ \rho_{\nu} = \frac{R}{N} \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} T$$
siendo $R$ la constante de los gases, $N$ el número de Avogadro, $c$ la velocidad de la luz y $T$ la temperatura. Como indica Einstein, esta expresión carece de acuerdo con los resultados experimentales.
Ahora bien, Einstein nota que esta expresión corresponde a la obtenida por Planck:
$$ \rho_{\nu} = \frac{\alpha \nu^3}{e^{\beta \nu /T} -1}$$
con $\alpha=6,10\times 10^{-56}$ y $\beta=4,966\times 10^{-11}$ (Einstein no da unidades), para el caso en el que $T/\nu$ sea grande.

Si $T/\nu>>$ entonces:

$$ \rho_{\nu} = \frac{\alpha}{\beta} \nu^2 T$$
Comparando ambas expresiones, Einstein obtiene para el número de Avogadro:
$$N = 6,17 \times 10^{23}$$
valor que coincidía con valores obtenidos por otros medios.

A continuación, Einstein parte de la relación entre la densidad de entropía $\phi$  que Wien había obtenido años antes:

$$ \frac{\partial \phi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$$ 

y de la densidad de energía del cuerpo negro $\rho$ obtenida también por Wien:

$$ \rho = \alpha \nu^3 e^{-\beta \nu /T}$$

para calcular la entropía de la radiación monocromática. Cómo el propio Einstein indica, la expresión de $\rho$ solamente es válida para valores grandes del cociente $\nu/T$. 
Despejando la temperatura de la expresión anterior se llega a:

$$ \frac{1}{T} = - \frac{1}{\beta \nu} \ln {\frac{\rho}{\alpha \nu^3}}$$

por lo que la densidad de entropía $\phi$ se puede obtener integrando en $\rho$:

$$ \frac{\partial \phi}{\partial \rho} = \frac{1}{T} \rightarrow  d\phi =- \frac{1}{\beta \nu} \ln  \left ( \frac{\rho}{\alpha \nu^3} \right ) d\rho $$

o sea:

$$ \phi = - \int\frac{1}{\beta \nu} \ln {\frac{\rho}{\alpha \nu^3}} d\rho$$

Integrando por partes obtenemos:

$$ \phi = - \frac{\rho}{\beta \nu} \left( \ln \frac{\rho}{\alpha \nu^3} - 1 \right ) $$

Multiplicando por el volumen obtenemos la entropía $S$:

$$ S = - \frac{E}{\beta \nu}\left( \ln \frac{E}{V \alpha \nu^3} - 1 \right ) $$

donde hemos tenido en cuenta que $\rho \cdot V$ es la energía $E$.

Si ahora nos fijamos únicamente en la dependencia de la entropía con el volumen y calculamos la variación de entropía de la radiación monocromática cuando pasa de un estado con volumen $V_0$ (sea $S_0$ esa entropía) a un estado con volumen $V$, obtenemos que:

$$ S- S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{V}{V_0}$$

que puede escribirse como:

$$ S- S_0 = \frac{R}{N} \ln \left[ \left( \frac{V}{V_0} \right) ^{NE/R\beta\nu} \right ] $$

Si ahora tenemos en cuenta que, para un gas ideal de $n$ partículas, la expresión que nos da la variación de entropía en función del volumen es:

$$ S- S_0 = \frac{R}{N} \ln \left( \frac{V}{V_0} \right) ^n $$

basta una simple comparación para llegar a la conclusión a la que llegó Einstein:

"la radiación monocromática a bajas densidades se comporta-siempre que la fórmula de Wien de la radiación sea válida- en un sentido termodinámico, como si estuviese formada por cuantos de energía independientes de valor $R\beta \nu/N$."

Einstein se plantea entonces la cuestión de si la leyes de creación y transformación de la luz pueden explicarse considerando a la luz compuesta de estos cuantos de luz.

Y la respuesta que obtiene es afirmativa, al menos para explicar la regla de Stokes, la producción de rayos catódicos mediante iluminación de sólidos (lo que hoy llamamos efecto fotoeléctrico) y la ionización de gases mediante luz ultravioleta.

Así, Einstein escribió otra de las expresiones más conocidas en Física:

$$ E = h \nu$$

ya que $\beta=h/k_B$ y $ R/N= k_B$, siendo $k_B$ la constante de Boltzman.


Einstein en 1904-5


Tuvieron que pasar cerca de diez años para que la expresión del efecto fotoeléctrico fuese verificada experimentalmente. Aún así, había muchas reticencias a aceptar la idea de que la luz estuviese compuesta por "cuantos", es decir, por partículas. Esto se debía principalmente a que esta idea destronaba la parte de la teoría electromagnética que se creía que era mejor conocida: la teoría del campo en el vacío.

Finalmente, la idea de los "cuantos de luz" se impuso y en 1921 le concedieron a Albert Einstein el Premio Nobel por sus trabajos en Física Teórica y, especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico. Uno años después, a los cuantos de luz se les empezó a llamar como los conocemos hoy: fotones.

¡Hasta la próxima!

Bibliografía:

- Sobre un punto de vista heurístico acerca de la creación y conversión de la luz. Einstein, A. (1905) (Artículo en inglés y artículo en alemán).

- Subtle is the Lord. The Science and Life of Albert Einstein. Pais, A. (2005) Oxford University Press.

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